Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T
1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update
1.1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác minh trên Nếu tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):
Thì giới hạn này call là tích phân suy rộng lớn của f(x) bên trên Bạn đang xem: Tài liệu bài tập tích phân suy rộng có lời giải
Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
là hội tụ (integral is convergent)Nếu giới hạn này là hết sức hoặc ko tồn trên ta nói tích phân suy rộng
là phân kỳ (integral is divergent).Ví dụ:
là hội tụ; là phân kỳ.Thật vậy ta có:
1.
2.
.Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:
Ta có:
(*)– Trước tiên, Tính tích phân:
Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:
Thế vào (*) ta có:
(do
)Vậy: I quy tụ và
1.2 Định nghĩa:
1.3 Tích phân quan liêu trọng:
Bài toán xét sự quy tụ của tích phân:
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />Nếu
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.Nếu
thì tích phân phân kỳ.Chứng minh:
Ta có:
_x=a^c " class="latex" />Với s > 1. Khi đó:
Vậy chuỗi hội tụ.
Với s =1: theo lấy ví dụ như trên ta tất cả chuỗi phân kỳ.
Với s
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).Vậy chuỗi phân kỳ.
1.4 Tiêu chuẩn chỉnh hội tụ, trường hòa hợp f(x) ≥ 0
1.4.1 Định lý so sánh 1:
Giả sử f(x) cùng g(x) không âm và khả tích bên trên , cùng f(x) ≤ g(x) ở ở bên cạnh +∞ ( có nghĩa là x đủ lớn). Lúc đó:
Nếu quy tụ thì tích phân hội tụNếu phân kỳ thì tích phân phân kỳ.Xem thêm: Nằm Lòng Thủ Tục Mua Bán Nhà Đất 2018, Nằm Lòng Thủ Tục Mua Nhà Đất Chuẩn Nhất 2018
1.4.2 Định lý so sánh 2:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở bên cạnh +∞ ( tức là x đủ lớn).
Nếu
Nhận xét:
– Để xét sự hội tụ của tích phân
, ta đề nghị xây dựng hàm g(x) thế nào cho . Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.Muốn vậy, ta đề xuất nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) gồm trong f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần để ý cả hai hàm f(x) và g(x) cần cùng khả tích bên trên 1.5 các ví dụ: Xét sự hội tụ của những tích phân: Ví dụ 1
Rõ ràng: hàm
là hàm số dương, khẳng định và liên tiếp với những x trực thuộc .Khi
: lnx là VCL nhưng không kiếm được VCL tương tự tương ứng. Do vậy, ta không cần sử dụng dấu hiệu so sánh 2.Ta rất có thể dùng vệt hiệu đối chiếu 1. Mong muốn vậy, nên chặn hàm lnx. Ta thuận tiện có bất đẳng thức sau:
Vậy tích phân đã đến phân kỳ.( vày tích phân
phân kỳ).Ví dụ 3
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $để mắt tới hàm rước tích phân, ta thấy:
lúc
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />Vậy:
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />Mà f(x) và g(x) thuộc khả tích trên <1;+∞) nên
cùng cùng hội tụ hoặc thuộc phân kỳ.Mặt khác:
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)Vậy tích phân I3 hội tụ.
Ví dụ 4.
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $Khi
ta có: x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />Tuy nhiên, f(x) xác minh và liên tiếp với phần đông
, còn g(x) không xác định tại x = 0 đề nghị ta không thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />– vì chưng
x}1+x^2 " class="latex" /> khẳng định và liên tiếp trên <0;1> đề xuất x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân khẳng định nên hội tụ.–
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> yêu cầu hội tụ.